Jan Peter Apel

21.11.2021

Ein Desaster der Wissenschaft
Prolog

Ein Losspiel mit nur drei Losen, dafür einem showmäßigen Öffnungsritual, bringt die Wissenschaft seit mehr als 40 Jahren zur Verzweiflung: Sie findet keine Erklärung für das zweifelsfrei meßbare Ergebnis und das läßt sich nur als Blamage der bestehenden Wahrscheinlichkeitslehre bezeichnen.

Der Stein des Anstoßes

Im englischen TV gab es in den 70ern des vergangenen Jahrhunderts eine Unterhaltungsshow, in der ein Auto gewonnen werden konnte, das hinter einer von drei Türen verborgen war. Hinter den zwei anderen Türen befand sich jeweils eine Ziege. Der Erfinder des Spiels ließ als Moderator einen Ratekandidaten eine Tür auswählen, öffnete diese aber noch nicht. Um der Show einen Clou zu geben, öffnete er statt dessen mit Worten wie "Ich will Ihnen mal was zeigen" eine der beiden anderen Türen, von der er wußte, daß sich dahinter eine Ziege befand. Dann bot er dem Kandidaten auch noch an, seine Wahl noch einmal ändern zu dürfen, also, wenn der will, die noch übrig gebliebene und geschlossene Tür der beiden anderen als seine neue Wahl zu deklarieren.



Nach geraumer Weile entstand die Frage: Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit, das Auto zu gewinnen, wenn der Ratekandidat wechselt?

Die Alltagswahrscheinlichkeitskenntnisse sagen, daß nach Öffnen einer der drei Türen nur noch zwei Türen übrig sind und damit die Gewinnwahrscheinlichkeiten der beiden Türen je ein Halb beträgt. Leider entspricht das reale Ergebnis dieser Annahme aber nicht, sondern, die Gewinnquote erhöht sich sogar beim Wechsel auf zwei Drittel. Obwohl das Fakt ist, wird dieser trotzdem weltweit angezweifelt, wobei die eigentliche Frage ja gar nicht sein kann, ob die Gewinnchance nach einem Wechsel zwei Drittel ist, denn das ist sie ja, sondern warum sie es ist.

Die unmittelbaren Folgen

Daraufhin entstand, als in den USA die mit dem damals höchsten Intelligenzquotienten behaftete Frau Marilyn vos Savant die zwei Drittel Gewinnchance als richtig benannte, ein weltweiter Shitstorm gegen sie und das zwei Drittel Ergebnis. Frau vos Savant gelang es mit ihrer individuellen Denkweise aber weder, dieses Ergebnis sachlich mit Regeln der Wahrscheinlichkeitslehre noch überzeugend zu begründen. Bis heute suchen Mathematik-Koryphäen weiter nach der Ursache für das zwei Drittel Ergebnis, da die Wahrscheinlichkeitslehre als ein Teil der Mathematik das Ergebnis nicht voraus sagen kann, nicht einmal im Nachhinein.

In WIKIPEDIA wird dieses Problem in äußerst unprofessioneller, unwissenschaftlicher und unsachlicher Weise vorgestellt. Obwohl dieses Ratespiel ausnahmslos nach den von seinem Erfinder folgend definierten Regeln auf der TV-Bühne durchgezogen wurde, werden diese Regeln noch mit Zusätzen oder Änderungen traktiert ohne Zielrichtung auf das warum, sondern auf ein Säen von Zweifeln an der zwei Drittel Gewinnchance nach dem Wechsel. Anstelle der Suche nach dem, was das zu lösende Problem eigentlich ist, werden unnützerweise neue Spielvarianten oder Abwandlungen hinzu erdacht, um daraus Hilfen zum Verstehen zu erlangen, bisher alles erfolglos. Außerdem ist ein jedes Problem der Welt aus sich selbst heraus zu ergründen, es gibt keine Junktims, daß ein Etwas von einem anderen Etwas erklärt oder beeinflußt würde. "Es ist so, wie..." heißt nichts anderes, als daß es eben doch nicht das selbe ist.
Auch für dieses Problem gilt das Grundsätzlichste für das Verstehen dieser Welt: Wissenschaft ist nicht, etwas berechnen zu können! Das ist allenfalls Tchnik im weitesten Sinne. Wissenschaft ist Ursachen von Rätseln zu entschlüsseln: Was steckt hinter einer Sache mit welchen Zusammenhängen und vor allen Dingen: Was ist wahr!
Die Analyse des Steins des Anstoßes

Um das statistische Ergebnis des Spiels nachvollziehen zu können, sind zuerst die Regeln, nach denen es tatsächlich ablief, zu spezifizieren. Diese sind:
1) Der Ratekandidat wählt eine Tür, die aber noch verschlossen bleibt.
2) Der Moderator öffnet statt dessen von den beiden anderen Türen mit voller Absicht eine mit einer Ziege.
3) Der Moderator gibt dem Ratekandidaten dann die Möglichkeit, seine Türwahl noch einmal ändern zu dürfen und damit, wenn der will, zur einzig noch verbleibenden geschlossenen der beiden anderen Türen zu wechseln.

Für diese Regeln, mit denen Monty Hall sein Spiel im TV ausschließlich praktizierte, ist heraus zu finden, wie sich die Gewinnchance des Ratekandidaten beim Wechsel der Türen ändert. Das geschieht im Folgenden.

Die drei vorgenannten Regeln definieren das Spiel explizit, es gibt keine Unterbestimmtheiten, wie in WIKIPEDIA aber behauptet wird, nämlich, daß nicht eindeutig bestimmt wäre, daß der Moderator dem Ratekandidaten nach Öffnen einer Ziege den Tausch immer anbieten muß. Dieses von Monty Hall erfundene Tauschangebot macht den ansonsten langweilig währenden Ratevorgang überhaupt erst zur von ihm gewünschten und auch erfolgreich gewordenen Show und ist damit der unverzichtbare Clou des Spiels. Also hat die Wissenschaft einzig und explizit zu beantworten, wie sich die Gewinnchance des Ratekandidaten bei seinem Tausch der Türen ändert.

In WIKIPEDIA werden weiter unsinnigste Betrachtungen aufgeführt über am Problem völlig Vorbeigehendes wie z. B.: Der Moderator sagte vor Öffnen einer Ziegentür: "Ich zeige Ihnen mal was" oder "Frau vos Savant hat ..... gesagt" oder "Wenn aber der Moderator die Tür mit dem Auto statt einer Ziege aufmacht" oder "Wenn der Moderator aus Faulheit nur die ihm nähere Tür mit einer Ziege aufmacht" oder oder oder, es fehlt nur noch, die Sterne zu befragen. Was haben all diese Aktivitäten, die von den zuvor genannten von Monty Hall definierten Regeln abweichen, mit einer wissenschaftlichen Lösung zu tun?  Es werden dagegen Biertischargumentationen in einer Enzyklopädie sein wollenden Darstellung von WIKIPEDIA verwendet, die erstaunlicherweise aber sogar in Büchern über das Ziegenproblem von eigentlich durchaus seriösen Verfassern geteilt werden. All das zeigt eines deutlich auf, nämlich, wie unwissend und unbeholfen agiert wird angesichts eines Problems, das mit völligem Fehlen eines sachkundigen Wissens gelöst werden will.
Ursache dafür ist, daß es keine Lehrwissenschaft für Wahrscheinlichkeitsstrukturen für Losspiele gibt. Es gibt ausschließlich mathematisch gestaltete quantitative Formulierungen, ausgehend von punktuellen, also nicht allgemeingültigen Ausgangsannahmen, die meist an einschränkende Randbedingungen, die ihrerseits oft unausgesprochen oder gar unbekannt sind, gebunden sind. Alles das wird von Mathematikern produziert, da diese glauben, daß Wahrscheinlichkeitsbehandlungen ein Teil der Mathematik seien, ein Irrglaube. Wahrscheinlichkeiten auch von Losspielen sind Sachwissenschaften, die aus einer sachlichen, also verbalen Struktur bestehen und Regeln enthalten müssen, die von der nur quantitativen Mathematik einzuhalten sind.

Eine Wissenschaft muß jedoch zunächst einmal sagen, was für eine Sache überhaupt erklärt werden soll. Hier geht es um ein Losspiel. Strukturen von Losspielen sind zu erkunden, was am Beispiel "Ziegenproblem" nachfolgend geschieht.
Was ist das Kern-Problem?

Es ist, daß die bestehende bzw. nichtbestehende Wahrscheinlichkeitslehre den unleugbaren Fakt des zwei Drittel Gewinnergebnisses nach dem Tausch nicht vorher sagen kann. Genau das ist aber ihre Aufgabe. Also ist sie zu hinterfragen bzw. zu überarbeiten zur Findung eventueller Änderungen oder Ergänzungen.

Wissenschaftlich heißt die Gretchenfrage lediglich, wie sich die Gewinnwahrscheinlichkeit des Ratekandidaten ändert, wenn er wechselt. Was hat das mit dem Verhalten des Moderators oder der Reihenfolge der Öffnungen von Türen zu tun? Absolut nichts.  

Um Probleme zu lösen, sind diese zunächst zu analysieren. Dazu ist es hier nötig, das Spiel in die Terminologie der Wahrscheinlichkeitslehre zu übersetzen, damit auch eine Allgemeingültigkeit der Lösung entsteht. Das "Ziegenspiel" entspricht einem Losspiel mit drei Losen, einem Gewinn und zwei Nieten. Es gibt zwei Mitspieler, ein Ratekandidat und der Moderator selbst. Der Ratekandidat wählt ein Los aus, der Moderator besitzt damit die zwei anderen.

Die Wahrscheinlichkeitslehre muß in der Lage sein,
das Ergebnis eines Losspiels mit nur drei Losen ohne Mathematik
mit ihren Prinzipien im Kopf ad hoc vorauszusagen.
Eine solche Lehre gibt es aber noch gar nicht,
sonst wäre das Ziegenrätsel überhaupt nicht entstanden.

Die Gewinnquoten für Ratekandidat und Moderator sind bestimmt durch die Gewinnquote eines Loses mal deren Anzahl. Bei hier insgesamt drei Losen hat der Ratekandidat eine Gewinnquote von ein Drittel, der Moderator eine von zwei Drittel. Soweit entspricht das auch dem Allgemeinwissen. Das Problem entsteht erst dadurch, daß der Moderator eine Niete von seinen zwei Losen aufzeigt. Mit so etwas kann die bisherige Wissenschaft über Wahrscheinlichkeiten nicht umgehen.

Was hat das Öffnen einer Niete aus den zwei Losen des Moderators für Folgen?
Zunächst hat es nicht die Folge, daß diese geöffnete Niete aus dem Spiel ist und mit den restlichen ungeöffneten Losen ein neues Spiel begänne! Das beweist das Nichteintreten der dazu gehörigen Fifty-Fifty-Gewinnchancen für Ratekandidat und Moderator, sondern das tatsächliche Ergebnis ist eine zwei Drittel Chance beim Wechsel der Tür. Daß das wirklich so ist, zeigt die folgende Wahrheitstabelle:



Wahrheitstabellen heißen nicht nur so, sondern zeigen auch die Wahrheit. Damit ist die Wahrheit beim Ziegenspiel die zwei Drittel Chance für den Ratekandidaten, wenn der wechselt. Theorien entstehen aus Wahrheitstabellen, also befindet sich der Fehler in der Wahrscheinlichkeitstheorie, dieses Ergebnis nicht voraus sagen zu können.

Die Suche nach der Lösung

Die Wahrheitstabelle zeigt einen Weg: Die richtige Lösung zeigt sich erst, wenn die Gewinnchancen nicht auf Einzellose bezogen werden, sondern auf die Besitzer der Lose. Die Wahrscheinlichkeitslehre beziffert richtigerweise die Gewinnchancen von Losbesitzern mit der Gewinnchance eines Einzelloses mal deren Anzahl. Was das aber in der letzten Konsequenz bedeutet, ist ihr noch unbekannt, bei diesem Losspielablauf aber der Knackpunkt der Sache.

Der Moderator des Spiels kann ja zum spannend machen der Show nur eine Niete aus seinen Losen öffnen, sonst hätte er dem Ratekandidat das Auto evtl. schon weggeschnappt und diese TV-Show wäre ein Flop geworden.
Was bedeutet das Öffnen einer Niete der Lose des Moderators für den Ratekandidaten? Nichts. Er besitzt ein Los von drei und damit eine Chance von nur ein Drittel.
Was bedeutet es für den Moderator? Auch nichts, er besitzt mit seinen zwei Losen eine zwei Drittel Chance, hat halt nur nur schon eine Niete geöffnet.
Was bedeutet die Öffnung einer Niete für das Spiel insgsamt? Auch nichts, eine geöffnete Niete verringert ja nicht die Gesamtzahl aller verteilten Lose und ändert damit die Gewinnschancen der Teilnehmer nicht so, als sei sie nie da gewesen. Insbesondere behält der Moderator immer noch seine zwei Drittel Chance, das Auto behalten zu können, er hat ja noch ein ungeöffnetes Los.
Was nun?
Die Suche nach den richtigen Regeln

Die Wahrscheinlichkeitslehre muß sich auf den Wahrheiten der Wahrheitstabelle aufbauen. "Innereien" von Theorien werden durch Regeln bestimmt. Regeln sind grundsätzlich verbale sinnhafte Beschreibungen von Zusammenhängen, also keine mathematische Formulierungen. Mathematik kann Sinnhaftigkeiten weder erkennen noch gar erstellen. Das heißt selbstverständlich auch, daß die Wahrscheinlichkeitslehre kein Teil der Mathematik sein kann, denn die Wahrscheinlichkeitstheorie fußt wie alle anderen Theorien für Geschehendes in dieser Welt auf Prinzipien, die zu nur verbal sein könnenden Regeln für die Erstellung richtiger Erklärungen führen. Diese können für Wahrscheinlichkeitstheorien nur aus Wahrheitstabellen heraus gelesen werden.

Gewinnwahrscheinlichkeiten von Losbesitzern sind die Anzahl derer Lose mal deren Einzelgewinnchancen. Um Individuelles aus Regeln heraus zu halten, können mehrere Lose eines Besitzers als Los-Bündel bezeichnet werden. Ein Los-Bündel hat eine bestimmte Gesamtgewinnwahrscheinlichkeit, nämlich die Einzelgewinnwahrscheinlichkeit eines Loses mal der Anzahl seiner Lose. Dabei ergibt sich aber eine überraschende Konsequenz: Die Gewinnquote eines Losbündels kann sich auch erst mit der Öffnung seines allerletzten Loses noch erfüllen! Dazu als Beispiel eine Visualisierung, die die Situation mit einem letzten Los eines Los-Bündels aufzeigt.



Da das Gewinnlos bei der Verteilung der Lose statistisch zu 90 Prozent ins Bündel des Spielers B gerät, erhält dieser zwangsläufig eine 90 prozentige Gewinnchance, die auch noch nach Aussondern von 8 Nieten aus seinem Bündel durch dessen letztem Los repräsentiert wird. Die zwei übrig gebliebenen Lose stehen sich nun nicht als gleichwertig gegenüber, denn das Los aus dem Bündel trägt dessen Gesamtgewinnchance noch in sich. Die Gesamtchance eines Los-Bündels ist also nicht auf dessen Einzellose zuordbar. Je mehr Nieten aus dem Bündel aufgedeckt werden, um so höher werden die Einzel-Chancen der übrig gebliebenen. Daraus ergibt sich nun eine neue Regel für die Wahrscheinlichkeitslehre:

Ein letztes Los aus einem Losbündel hat immer noch
die Gewinnwahrscheinlichkeit des gesamten Bündels!

Beim Ziegenspiel hat das Bündel des Moderators von zwei Losen eine Gewinnquote von zwei Drittel. Wechselt also der Ratekandidat von seiner erstgewählten Tür mit ein Drittel Gewinnchance zum letzten Los des Bündels des Moderators, erhält er, da es das letzte Los des Bündels des Quizmasters ist, auch dessen gesamte Bündelgewinnquote von zwei Drittel, so, wie es die Wahrheitstabelle und die Realität des Spiels auch zeigen.

Die richtige Denke des Ratekandidaten mit der Kenntnis dieser Regeln für Losspiele ist also:
"Ich habe mit meinem einen Los eine Chance von ein Drittel. Der Moderator hat mit seinem Losbündel von zwei Losen eine Chance von zwei Dritteln. Wenn der mir verrät, welches seiner zwei Lose eine Niete ist, so hat sein letztes Los allein immer noch die zwei Drittel Chance des gesamten Losbündels, das Auto zu gewinnen, also tausche ich".
Durch den Tausch ergibt sich als Kuriosum, daß im Ziegenspielfall mit dem Einsatz nur eines Loses eine Gewinnchance von zwei Losen erreicht wird.
Damit ist das Ziegenproblem endgültig gelöst und zwar gänzlich ohne Mathematik, da bei drei Losen auch nur bis drei gezählt werden braucht.

Durch die Tatsache, daß Lose in einem Losbündel keine diskrete eigenständige Wertigkeit besitzen, ergibt sich eine zweite neue Regel:

Es muß grundsätzlich in Losbündeln gedacht werden
und nicht in Einzellosen.

Beim Ziegenspiel besteht nach der Erstwahl des Ratekandidaten eine Losverteilung von einem Los für den Kandidaten und einem Losbündel mit zwei Losen für den Moderator. Damit sind für die Gewinnchancen der Teilnehmer die Würfel gefallen. Durch die Öffnung einer Niete aus dem Los-Bündel des Moerators erhält dessen zweites Los eine alleinige Gewinnchancenwertigkeit von zwei Drittel.

Zuletzt noch eine dritte neue Regel: Aus dem auch als Wahrheitstabelle zu verstehendem Bild der Visualisierung von Losbündeln ist heraus zu lesen:
Gewinnquoten bei Losspielen legen sich
durch die Verteilunng der Lose endgültig fest.

Das ist die Hauptregel, wenn es um Losspiele geht und geht allen anderen Überlegungen voran. Die Gewinnchanchen von Losen sind nach der Verteilung nicht mehr beeinflußbar, außer mit Tauschaktionen wie zuvor. In welcher Reihenfolge und beim Ziegenspiel mit welchem Brimborium die Lose geöffnet werden, hat also keinerlei Auswirkungen mehr auf die Ergebnisse, denn die sind durch die Verteilung endgültig fixiert.
Das spezielle Gesamtergebnis

Die Verteilung von Losen führt, üblicherweise durch Verkauf, zu Einzellosen und kompakt zu betrachtenden Losbündeln.
1) Einzellose haben eine Gewinnquote von eins durch die Gesamtzahl aller Lose.
2) Losbündel haben eine Gewinnquote in Höhe der Anzahl ihrer Lose dividiert durch die Gesamtzahl aller Lose.
Damit sind die Gewinnquoten von Einzellosen und Losbündeln bei Losspielen endgültig festgelegt und unveränderbar. Und natürlich hat die Gewinnquote für die Summe aller Lose eines Losspiels. also der Einzellose plus der Losbündel, zusammen den Wert Eins, also 100%.

Eine Besonderheit innerhalb von Losbündeln ist jedoch zu beachten:
Einzellose in Losbündeln haben keine diskreten Einzelgewinnchancen, sondern deren Gewinnquoten steigen bei Öffnungen von Nieten aus dem Bündel dadurch, daß sich die unveränderbare Gesamtgewinnquote des Bündels auf weniger Lose verteilt. Das letzte Los eines Losbündels erreicht dann sogar die Gewinnchance des gesamten Losbündels, nachdem im Bündel bis dahin nur Nieten aufgedeckt wurden.


Das qualitative Gesamtergebnis 

Grundlage aller Regeln für Losspiele sind Wahrheitsdiagramme. Davor muß auch die Mathematik kuschen, Wahrheiten und die Natur sind Bosse, nicht die Mathematik, sie ist immer nur Slave! Deswegen steht ihr zu Recht auch kein Nobelpreis zu. Die Lösung des nun mehr als 40 Jahre alten Ziegenrätsels ist ausschließlich durch die Anwendung der drei zuvor genannten neuen Regeln der Wahrscheinlichkeitslehre erfolgt. Wahrscheinlichkeitslehre ist kein mathematischer "Ableger", sondern ein eigenständiges Sachgebiet, also eine eigene Wissenschaft, die nicht der Mathematik zugehörig sein kann, denn: Sachliche Regeln bestimmen die Lösungen, nicht mathematische. Das Auswechseln von algebraischen Variablen durch physikalische Größen macht aus Mathematik weder Physik noch mit Wahrscheinlichkeitsvariablen Wahrscheinlichkeitslehre.

Bei WIKIPEDIA sind auch mathematische Lösungen angeführt, die alle auf das zuvor bekannte Ergebnis von zwei Drittel Gewinnquote nach dem Tausch hin getrimmt sind. Ohne diese Vorabkenntnis des Ergebnisses wären sie gar nicht entstanden. Mathematik kann verbal-logische Zusammenhänge weder erkennen noch gar postulieren, womit sie grundsätzlich keine Lösungen erbringen kann. Mathematik kann lediglich aus erkennbaren Detail-Korrelationen Formulierungen bauen, die mit Glück extrapolierend zu richtigen Ergebnissen führen. Warum solche Ergebnisse dann aber richtig sind oder auch nicht, kann sie aus sich allein heraus niemals erkennen.

Bilanz des Ganzen

Das Wissen der Menschheit besteht nicht aus quantitativ stimmigen Resultaten, sondern aus verbal und verständlich nachvollziehbaren Erklärungen, also Regeln oder Theorien. Mathematik könnte das Ziegenrätsel nie lösen, andernfalls hätte sie es nach nun mehr als 40 Jahren auch getan. Mathematik ist nur eine Zahlenwissenschaft und keine Sachwissenschaft. Sachgebiete lassen sich nur mit den ihnen eigenen verbalen Regeln beherrschen, nicht aber mit mathematischen: Mathematik kann nicht denken, obwohl in der Mathematik auch gedacht werden muß, aber nur über ihre eigenen Zahlen-Probleme. Mathematik kann als Selbstzweck leben, sucht aber lieber Vorgänge in der Welt, in die sie sich einbringen kann und seit langem auch mit ihren Regeln dominieren will, obwohl alle Vorgänge der Welt ihre eigenen sach- oder naturbezogenen Regeln besitzen, die ganz anderer Art sind und von denen die Mathematik überhaupt keine Ahnung haben kann. Mathematik kann nur quantifizierbares Äußeres, also nur Symptome, beschreiben, deren sie entstehen lassenden inneren Funktionismen aber niemals aufdecken oder gar erklären. Nur Erklärungen aber sind das Wissen der Menschheit.

WIKIPEDIA als seriöse Enzyklopädie zu bezeichnen, ist mehr als nur fahrlässig. Ihre Qualität beruht nicht auf Erkenntnissen von anerkannten Wissenschaftlern, sondern nur auf der Qualität anonymer, meist dem Mainstream folgenden und überwiegend Schullehre-Gläubigen ohne Verantwortung und unabhängige Kontrolle.

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