Jan Peter Apel

21.11.2021

7.10.2022 Textstraffung

Ein Desaster der Wissenschaft
Prolog

Ein Losspiel mit nur drei Losen, dafür einem showmäßigen Öffnungsritual, bringt die Wissenschaft seit nun 50 Jahren zur Verzweiflung: Sie findet keine Erklärung für das zweifelsfrei meßbare Ergebnis und das läßt sich nur als Blamage der bestehenden Wahrscheinlichkeitslehre bezeichnen.

Der Stein des Anstoßes

Im englischen TV gab es in den 70ern des vergangenen Jahrhunderts eine Unterhaltungsshow, in der ein Auto gewonnen werden konnte, das hinter einer von drei Türen auf einer TV Tribüne verborgen war. Hinter den zwei anderen Türen befand sich jeweils eine Ziege. Der Erfinder des Spiels ließ als Moderator einen Ratekandidaten eine Tür auswählen, öffnete diese aber noch nicht. Um der Show einen Clou zu geben, öffnete er statt dessen mit Worten wie "Ich will Ihnen mal was zeigen" eine der beiden anderen Türen, von der er wußte, daß sich dahinter eine Ziege befand. Dann bot er dem Kandidaten auch noch an, seine Wahl einer Tür noch einmal ändern zu dürfen, also, wenn der will, die noch übrig gebliebene und geschlossene Tür der beiden anderen als seine Erstwahl zu deklarieren.
Nach geraumer Weile zeigte sich, daß, wenn der Ratekandidat seine Türwahl wechselte, seine Gewinnchance zwei Drittel betrug. 

Die Alltagswahrscheinlichkeitskenntnisse sagen aber, daß nach Öffnen einer der drei Türen nur noch zwei Türen übrig sind und damit die Gewinnwahrscheinlichkeiten der beiden Türen je ein Halb beträgt. Die tatsächliche Zwei-Drittel-Erfolgsquote wird aber ungeachtet seiner Wahrheit von einer weltweiten Mehrheit angezweifelt, da sie von dem "gesunden" Logikempfinden abweicht, man versteht es nicht oder will es nicht verstehen.

Daraufhin bezeichnete die in den USA mit dem damals höchsten Intelligenzquotienten behaftete Frau Marilyn vos Savant die zwei Drittel Gewinnchance beim Wechseln der Türen als richtig. Ein Shitstorm gegen sie war die Folge. Frau vos Savant gelang es mit ihrer individuellen Denkweise aber weder, dieses Ergebnis sachlich mit Regeln der Wahrscheinlichkeitslehre noch anderweitig überzeugend zu begründen. Bis heute suchen Mathematik-Koryphäen weiter nach der Ursache der höheren Gewinnquote, da sie die Wahrscheinlichkeitslehre als ein Teil der Mathematik betrachten, jedoch ohne anerkennbare Ergebnisse.

In WIKIPEDIA wird dieses Problem in äußerst unprofessioneller, unwissenschaftlicher und unsachlicher Weise vorgestellt. Vor allem verakademisierte sich das Problem, ohne es als solches erst einmal explizit zu präzisieren. Statt dessen verbreiterte es sich als diffuses Problem in ethischer Breite, auch in Büchern, mit zahllosen diversen Sichtweisen, die bis ins psychische reichen. Dazu werden Fakten ignoriert sowie Regeln des Erfinders des Spiels in Frage gestellt und abstruse Gedanken wie z. B. Verhaltensweisen des Quizmasters mit in Überlegungen einbezogen, als ob der Quizmasters das Ergebnis beeinflussen könnte. Mit all dem weiß niemand mehr, wo vorn und hinten bzw. was überhaupt das eigentliche Problem ist. Erst ein bekanntes Problem wird zu einem gelösten Problem.
Das sachliche Problem heißt:
Warum steigt die Gewinnquote beim Wechsel der Tür durch den Ratekanditaten auf zwei Drittel?

Die weltweiten Aufregungen entstehen aus dem Problem, daß die Gewinnsteigerung beim Wechsel der Türen durch den Ratekandidaten nicht auf 1/2, sondern auf 2/3 steigt, was äußerst unlogisch erscheint und daher wenig glaubhaft ist. Diese Unglaubhaftigkeit ist also durch eine sachliche Erklärung zu beenden. Diese Erklärung muß eindeutig, relativ kurz und für jedermann nachvollziehbar sein, dazu verständlich und vor allem verbal (keine mathematischen Formenl!). Alles andere dokumentiert Unwissen des Erklärers.

Die Regeln des "Ziegen-Spiels" hat der Erfinder Monty Hall explizit definiert, es ist sein Spiel, er ist der Erfinder.  Mit diesen Regeln muß die Wahrscheinlichkeitstheorie alle möglichen Ergebnisse voraussagen.
Die Regeln des Spiels von Monty Hall bestehen aus drei Schrittabläufen, die er nie variiert hat:

1er Schritt: Der Ratekandidat wählt eine Tür, die der Moderator aber noch nicht öffnet.
2er Schritt: Der Moderator öffnet bewußt und absichtlich von seinen beiden Türen eine, hinter der eine Ziege steht, was er ja weiß.
3er Schritt: Der Moderator gibt dem Ratekandidaten dann die Möglichkeit, seine Türwahl noch einmal ändern zu dürfen und damit, wenn er will, zur einzig noch verbleibenden geschlossenen der beiden anderen Türen zu wechseln.

Diese und allein diese Abläufe sind von Monty Hall festgelegt und von ihm in seinen Rateshows immer eingehalten worden. Es ist also unzulässig zu unterstellen, daß er als Quizmaster z. B. auch die vom Ratekandidaten gewählte Tür öffnen könnte, wenn dahinter eine Ziege stünde oder er dem Ratekandidaten das Tauschangebot nicht zwingend machen muß. Mit den drei genannten Schritten ist explizit festgelegt, was zu tun ist. Damit ist es nicht mehr erforderlich, sagen zu müssen, was nicht getan werden darf wie z. B. den Tausch nicht anzubieten. Da in Schritt 3 bestimmt ist, daß der Moderator dem Ratekandidaten eine Neuwahl gewährt, heißt das auch explizit, daß er diese Neuwahl gewähren muß! Und gerade dieses Tauschangebot ist sogar der Clou des Spiels, wird in WIKIPEDIA trotzdem als unbestimmt bewertet. Dummerweise (für die Wissenschaft jedoch fatalerweise) führt genau diese Wechselmöglichkeit für den Kandidaten zum Unverständnis über den Fakt, daß das Ergebnis daraus eine Erhöhung der Gewinnquote auf zwei Drittel ist.
Der Weg zur Lösung

Rätsel der Natur lösen sich ausschließlich dadurch, daß die Zusammenhänge deren beteiligter Dinge (beim Ziegenrätsel "Lose") erkannt werden müssen, so daß daraus Regeln für die Behandlung der Rätselprobleme entstehen. Diese Regeln sind wesensbedingt verbal und niemals mathematisch. Mathematik kann nie Rätsel lösen, sondern lediglich deren Symptome quantitativ erfassen. Die Ursache für "Warum sind mathematische Beschreibungen brauchbar?" bleibt der Mathematik auf ewig verschlossen. Die Lösungen von Rätseln sind immer verbal und für jeden Interessierten verständlich. Auch für das Ziegenrätsel muß die Lösung für jedermann leicht einsichtig sein.

Zur Findung der Lösung gibt es aber ein Problem: eine sachliche regelgesteuerte Wahrscheinlichkeitslehre gibt es noch gar nicht! Es gibt einzig mathematische Formulierungen, mit bestimmten Annahmen auf die Richtigkeit von Ergebnissen hin getrimmt, aber das ist keine Wissenschaft.
Was ist Sache?

Eine Wissenschaft muß zunächst einmal sagen, was für eine Sache überhaupt erklärt werden soll. Hier geht es um ein Losspiel, nur in Form von Türen. Wissenschaftlich heißt die Gretchenfrage beim Ziegenspiel nach Monty Halls Regen lediglich, wie ändert sich die Gewinnwahrscheinlichkeit des Ratekandidaten, wenn der wechselt. Was hat das mit einem Verhalten des Moderators oder der Reihenfolge der Öffnungen von Türen (Losen) zu tun? Absolut nichts.

Um Probleme zu lösen, sind diese zunächst zu analysieren. Dazu ist es hier nötig, das Spiel in die Terminologie einer sachlichen Wahrscheinlichkeitslehre zu übersetzen, damit auch eine Allgemeingültigkeit der Lösung entsteht. Das "Ziegenspiel" entspricht einem Losspiel mit drei Losen, einem Gewinn und zwei Nieten. Es gibt zwei Mitspieler, ein Ratekandidat und der Moderator selbst. Der Ratekandidat wählt ein Los aus, der Moderator besitzt damit die zwei anderen.

Eine Wahrscheinlichkeitslehre muß in der Lage sein,
das Ergebnis eines Losspiels mit nur drei Losen ohne Mathematik
mit nur ihren eigenen verbalen Prinzipien im Kopf ad hoc vorauszusagen.

Bei Losspielen geht es nicht nur um die Gewinnchancen von Einzellosen, sondern um die Gewinnchancen von Losbesitzern. Ein Einzellos hat bei nur einem Gewinnlos immer die Gewinnchance von 1 durch die Anzahl aller Lose.

Regel 1: Bei Losspielen sind die Gewinnchancen von Losbesitzern maßgebend.
Ein Losbesitzer mit mehreren Losen hat die Gewinnchance von einem Los mal der Anzahl seiner Lose.

Für das Ziegenspiel bedeutet das, daß der Ratekandidat eine Gewinnchance von 1/3 und der Moderator mit seinen zwei Losen eine von 2/3 haben. Die Konsequenz: bleibt der Kandidat bei seiner Erstwahl, hat er eine Gewinnschance von 1/3. Der Quizmaster hat demnach eine Gewinnchance von 2/3, das Auto zu behalten. Wechselt der Ratekandidat aber zur noch ungeöffneten Tür des Quizmasters, so zeigt sich als tatsächliches Ergebnis eine Gewinnchance für ihn von 2/3 und nicht 1/2. Das ist das "Ziegenrätsel", wobei es das Problem ist, nicht erklären zu können, warum das Ergebnis 2/3 ist. Da hilft die folgende Wahrheitstabelle:
Die Wahrheitstabelle zeigt den Fakt auf, daß der Ratekandidat beim Wechseln der Türen eine 2/3 Gewinnchance erhält.

Wahrheitstabellen heißen nicht nur so, sondern zeigen auch die Wahrheit. Damit ist die Wahrheit beim Ziegenspiel die zwei Drittel Chance für den Ratekandidaten, wenn der wechselt.

Wahrheitstabellen sind generell die Grundlagen für die Entstehungen von Theorien.
Somit wird im Folgenden die Theorie für die Lösung des Ziegenrätsels erstellt.
Mathematik ist dafür nicht nötig, sie könnte es auch gar nicht.
Die Findung der Lösung

Was bedeutet eigentlich der Wechsel der Türen für die Gewinnwahrscheinlichkeit? Der Ratekandidat verläßt seine gewählte eine Tür und erhält die noch geschlossene des Quizmasters. Der Quizmaster hatte aber zwei Türen, somit eine 2/3 Gewinnchance.
Der Quizmaster öffnete eine Tür mit Ziege, die er durch seine zwei Türen ja immer hat. Der Ratekandidat übernimmt beim Wechsel faktisch aber beide Türen des Quizmasters. Die geöffnete Tür mit Ziege ist zwar eine Niete, aber immer noch ein Los von den dreien und legt damit auch den Nenner der Gewinnwahrscheinlichkeit mit Drittel fest. Oder anders gesagt: Beide Türen des Quizmasters stellen die 2/3 Gewinnchance dar. Eine Niete davon wurde nur schon vorab "durch Verrat" geöffnet, was die zwei Drittel Chance des Quizmasters aber nicht mindert. Somit erhält der Ratekandidat immer noch die volle Gewinnchance des Quizmasters aus zwei Losen, obwohl er nur noch eine Tür öffnen kann. Soweit die richtige logische Erklärung, die aber noch durch eine sachliche Theorie bestätigt werden muß.

Mehrere Lose eines Losbesitzers nennen wir nun ein Losbündel. Was es mit Losbündeln auf sich hat, zeigt die folgende Wahrheitstabelle.




Da ein Gewinnlos bei der Verteilung der Lose statistisch zu 90 Prozent ins Bündel des Spielers B gerät, erhält dieser zwangsläufig eine 90prozentige Gewinnchance, die erstaunlicherweise auch noch nach Aussondern von 8 Nieten aus seinem Bündel durch dessen letztem Los repräsentiert wird. Die zwei übrig gebliebenen Lose stehen sich nun nicht mehr als gleichwertig gegenüber, denn das Los aus dem Bündel trägt dessen Gesamtgewinnchance noch in sich. Die Gesamtchance eines Los-Bündels ist also nicht auf dessen Einzellose zuordbar. Je mehr Nieten aus dem Bündel aufgedeckt werden, um so höher werden die Einzel-Chancen der übrig gebliebenen. Daraus ergibt sich nun eine weitere Regel für die Wahrscheinlichkeitslehre:

Regel 2: Ein letztes Los aus einem Losbündel hat immer noch
die Gewinnwahrscheinlichkeit des gesamten Bündels!

Das ist eine Regel für die Wahrscheinlichkeitstheorie bei Losspielen, die niemals mathematisch hätte gefunden werden können.

Beim Ziegenspiel hat das Bündel des Moderators von zwei Losen eine Gewinnquote von zwei Drittel. Wechselt also der Ratekandidat von seiner erstgewählten Tür mit ein Drittel Gewinnchance zur letzten Tür des Bündels des Moderators, erhält er, da es dessen letztes Los seines Bündels ist, auch dessen gesamte Bündelgewinnquote von zwei Drittel, so, wie es die Wahrheitstabellen und die Realität des Spiels auch zeigen.

Die richtige Denke des Ratekandidaten mit der Kenntnis dieser Regeln für Losspiele ist also:
"Ich habe mit meinem einen Los eine Chance von ein Drittel. Der Moderator hat mit seinem Losbündel von zwei Losen eine Chance von zwei Dritteln. Wenn der mir verrät, welches seiner zwei Lose eine Niete ist, hat sein letztes Los allein immer noch die zwei Drittel Chance des gesamten Losbündels, das Auto zu gewinnen, also tausche ich".

Durch die Tatsache, daß Lose in einem Losbündel keine diskrete eigenständige Wertigkeit besitzen, ergibt sich eine dritte Regel:

Regel 3: Es muß grundsätzlich in Losbündeln gedacht werden und nicht in Einzellosen.

Beim Ziegenspiel besteht nach der Erstwahl des Ratekandidaten eine Losverteilung von einem Los für den Kandidaten und einem Losbündel mit zwei Losen für den Moderator. Damit sind für die Gewinnchancen der Teilnehmer die Würfel gefallen. Durch die Öffnung einer Niete aus dem Los-Bündel des Moderators erhält dessen zweites Los eine alleinige Gewinnchancenwertigkeit von zwei Drittel.

Aus der Wahrheitstabelle der Visualisierung von Losbündeln ist heraus zu lesen:
Regel 4: Gewinnquoten bei Losspielen legen sich bei der Verteilung der Lose fest.

Das ist die Hauptregel, wenn es um Losspiele geht und geht allen anderen Überlegungen voran. Die Gewinnchancen von Losen sind nach der Verteilung nicht mehr beeinflußbar, außer mit Tauschaktionen wie zuvor. In welcher Reihenfolge oder beim Ziegenspiel mit welchem Brimborium die Lose geöffnet werden, hat also keinerlei Auswirkungen mehr auf die Ergebnisse, denn die sind durch die Verteilung bestimmt.
Das spezielle Gesamtergebnis

Die Verteilung von Losen führt, üblicherweise durch Verkauf, zu Einzellosen und kompakt zu betrachtenden Losbündeln.
1) Einzellose haben eine Gewinnquote von eins durch die Gesamtzahl aller Lose.
2) Losbündel haben eine Gewinnquote in Höhe der Anzahl ihrer Lose dividiert durch die Gesamtzahl aller Lose.
Damit sind die Gewinnquoten von Einzellosen und Losbündeln bei Losspielen endgültig festgelegt und unveränderbar. Und natürlich hat die Gewinnquote für die Summe aller Lose eines Losspiels, also der Einzellose plus der Losbündel, zusammen den Wert Eins, also 100%.

Eine Besonderheit innerhalb von Losbündeln ist:
Einzellose in Losbündeln haben keine diskreten Einzelgewinnchancen, sondern deren Gewinnquoten steigen bei Öffnungen von Nieten aus dem Bündel dadurch, daß sich die unveränderbare Gesamtgewinnquote des Bündels auf weniger Lose verteilt. Das letzte Los eines Losbündels erreicht dann sogar die Gewinnchance des gesamten Losbündels, nachdem im Bündel bis dahin nur Nieten aufgedeckt wurden.


Das qualitative Gesamtergebnis

Grundlage aller Regeln für Losspiele sind Wahrheitsdiagramme. Davor muß auch die Mathematik kuschen, Wahrheiten und die Natur sind Bosse, nicht die Mathematik, sie ist immer nur Slave! Deswegen steht ihr zu Recht auch kein Nobelpreis zu. Die Lösung des nun mehr als 50 Jahre alten Ziegenrätsels ist ausschließlich durch die Anwendung der vier zuvor genannten verbalen neuen Regeln der Wahrscheinlichkeitslehre erfolgt.
Die zuvor benannten 4 Regeln für Losspiele sind ein Anfang für das, was einmal wahre Wahrscheinlichkeitslehre werden kann. Wahrscheinlichkeitslehre ist kein mathematischer "Ableger", sondern ein eigenständiges Sachgebiet, also eine eigene Wissenschaft, die nicht der Mathematik zugehörig sein kann, denn: Sachliche Regeln bestimmen die Lösungen, nicht mathematische. Das Auswechseln von algebraischen Variablen durch physikalische Größen macht aus Mathematik weder Physik noch mit Wahrscheinlichkeitsvariablen Wahrscheinlichkeitslehre.


Bilanz des Ganzen

Das Wissen der Menschheit besteht nicht aus quantitativ stimmigen Resultaten, sondern aus verbal und verständlich nachvollziehbaren Erklärungen, also Regeln oder Theorien. Mathematik könnte das Ziegenrätsel nie lösen, andernfalls hätte sie es nach 50 Jahren auch getan. Mathematik ist nur eine Zahlenwissenschaft und keine Sachwissenschaft. Sachgebiete lassen sich nur mit den ihnen eigenen verbalen Regeln beherrschen, nicht aber mit mathematischen: Mathematik kann nicht denken, obwohl in der Mathematik auch gedacht werden muß, aber nur über ihre Zahlenhandhabungen. Mathematik kann als Selbstzweck leben, sucht aber lieber Vorgänge in der Welt, in die sie sich einbringen kann und seit langem auch mit ihren Regeln dominieren will, obwohl alle Vorgänge der Welt ihre eigenen sach- oder naturbezogenen Regeln besitzen, die ganz anderer Art sind und von denen die Mathematik überhaupt keine Ahnung haben kann. Mathematik kann nur quantifizierbares Äußeres, also nur Symptome, beschreiben, deren sie entstehen lassenden inneren Funktionismen aber niemals aufdecken oder gar erklären. Nur Erklärungen aber sind das Wissen der Menschheit.

WIKIPEDIA als seriöse Enzyklopädie zu bezeichnen, ist mehr als nur fahrlässig. Ihre Qualität beruht nicht auf Erkenntnissen von Wahrheiten, sondern nur auf der Qualität anonymer, meist dem Mainstream folgenden und überwiegend Schullehre-Gläubigen ohne Verantwortung und unabhängiger Kontrolle.

Wissenschaft ist die Suche nach Wahrheiten, nicht die Findung mathematischer Formeln!
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